Серединный треугольник и прямая Эйлера

5. прямые, которые выходят из вершины треугольника и делят противоположные стороны пропорционально одним и тем же самым тригонометрическим функциям прилежащих углов

6. прямые, которые соединяют вершины треугольника с точками касания соответственных вневписанных окружностей.

Задачи 1-6 являются вспомогательными задачами, готовящими ученика к самостоятельной деятельности. Схематично задача А вместе с серией вспомогательных задач А1, А2, ……Аn изображается так: А1 – А2 – А3 – …-Аn. Самостоятельная деятельность ученика начинается с решения задачи А (тригонометрическая теорема Чевы). Если ученик за определенное время не может решить её, то приступает к решению первой вспомогательной задачи А1: А-А1 (теорема Чевы). В случае решения задачи А1 ученик возвращается к задаче А1: А – А1. Если задача А снова не решается, то ученик обращается к задаче А2. Решив задачу А2, возвращается к задаче А и т.д.

Возможен случай, когда школьник не сможет решить вспомогательную задачу А1. Тогда он приступает к решению задачи А2. От задачи Аn ученик последовательно возвращается к задаче А.

Вернемся к тригонометрической форме теоремы Чевы, которая является основной задачей и предлагается доказать ученику самостоятельно.

Домашнее задание:

Решить задачи 5-6.

По учебнику найти, какие точки называются замечательными. Подготовить доклад о найденных замечательных точках.

Вырезать из плотного картона остроугольный треугольник.

Замечательные точки

Этап 1. Проверка домашнего задания. Повторение.

Этап 2. Введение нового материала (метод – объяснительно-иллюстративный и частично поисковый).

Слова учителя:

Существует много специальных точек и линий, связанных с треугольником. Мы уже упоминали одну такую точку – центр окружности, описанной вокруг треугольника.

Условимся обозначать ее О. Она является точкой пересечения трех перпендикуляров, делящих пополам стороны треугольника. Радиус описанной окружности был уже обозначен буквой R. Эти 2 чертежа заранее приготовлены на доске.

Ученики конспектируют определения, понятия и делают записи и чертежи. Чевианы, которые связывают вершины треугольника с серединами противоположных сторон, называются медианами. На рисунке отрезки АА`, BB` и CC` – медианы, так что |BA`|=|A`C|, |CB`|=|B`A| и |AC`|=|C`B|. Применяя теорему 2, делаем вывод, что медианы конкурентны. Их общая точка G называется центроидом треугольника. Если бы треугольник был вырезан из однородного материала, то он оставался бы в равновесии, будучи подвешенным в этой точке. Другими словами, центроид есть «центр тяжести» треугольника. Для наглядности учащиеся берут сделанные дома заготовки и проверяют последнее утверждение.

Рассмотрим 2 треугольника SGBA`= SGA`C.

Что вы можете сказать про эти 2 треугольника?

Равны они или нет?

Нет.

Почему?

Они не равны, так как у них разные длины боковых сторон, а основания равны.

У них равны только основания?

Нет.

Какие еще элементы у них равны?

У них равны высоты.

Почему?

Их высоты равны, потому что вершины этих треугольников находятся в одной точке, а их основания лежат на основании треугольника АВС.

А что вам известно про треугольники с равными основаниями и высотами?

Их площади равны.

И так, мы обнаружили, что SGBA`= SGA`C, так как эти треугольники имеют одинаковые основания и одну и ту же высоту. На рисунке обозначим эти площади одной и той же буквой х.

А что можно сказать про треугольники BGC`, AGC`, CGB`, AGB`?

Площади треугольников BGC`, AGC` и CGB`, AGB` равны, так как у этих треугольников равны высоты и основания.

То есть, делаем вывод, что SGCB` = SGB`A и SGAC` = SGC`B.

Обозначим эти площади через y и z, и отметим это на чертеже.

А что вы можете сказать про треугольники CAC` и CC`B?

Их площади SCAC` = SCC`B так же равны между собой.

Чему равна площадь треугольника SCAC`?

SCAC` = 2y + z.

Чему равна площадь треугольника SCC`B?

SCC`B = 2x + z.

Но так как SCAC` = SCC`B, то 2y + z = 2x + z, сократим слева и справа равные элементы, получим 2y = 2x, а следовательно x = y.

Познавательно о обучении:

Требования к подбору задач для проведения дифференцированного зачета
Остановимся на подборе задач для зачетов. Как отмечалось выше, чаще всего работа состоит из двух частей: обязательной (базовой) и дополнительной (вариативной). Обязательную часть составляют задачи обязательного уровня, за выполнение которых ученик получает отметку «зачтено»; дополнительную часть – ...

Особенности обучения информатике в общеобразовательной школе
Предмет информатики определяется многообразием ее приложений. Различные информационные технологии, функционирующие в разных видах человеческой деятельности (управление производственным процессом, системы проектирования, финансовые операции, образование и т.п.), имея общие черты, в то же время сущес ...

Наблюдение за объектами живой природы
В течение учебного года воспитатели с детьми выращивают разные растения, а нередко и потомство некоторых животных. Это обеспечивает благоприятные условия для проведения интересных, имеющих особую экологическую значимость наблюдений. Взаимосвязь живого существа со средой обитания в процессе его онто ...