Этап 2. Введение нового материала.
Перед введением нового материала выслушивается доклад сделанный учениками по теме урока. В это время остальной класс делает конспект делаемого доклада. После завершения того, как доклад будет заслушан подводятся итоги по полученной информации и делаются выводы самими учениками под руководством учителя. А после этого уже сам учитель дополняет и корректирует материал текущего урока.
На рисунке изображена вписанная окружность, касающаяся сторон ВС, СА и АВ в точках X, Y, Z. Обозначим через x длины отрезков AY и AZ, через y длины отрезков BZ и BX, через z длины отрезков CX и CY.
Почему AY = AZ, BZ = BX, CX = CY?
Они равны. Так как две касательные к окружности, проведенные из внешней точки, равны, и мы получаем, что |AY|=|AZ|, |BZ|=|BX|, |CX|=|CY|.
На рисунке длины этих отрезков обозначены x, y, z так что y + z=a, z + x=b, x + y=c.
Сложим эти равенства. Что получим?
Получим 2x + 2y + 2z = a + b + c = Р, то есть периметр.
Для нужного нам обозначения используем введенное Эйлером обозначение s для полупериметра (от «semiperimetr»), получим 2x + 2y + 2z = a + b + c = 2s, поэтому х + y + z=s, т.е. справедлива
Теорема 4.1: Для треугольника, изображенного на рисунке, выполняются соотношения:
x=s-a,
y=s-b,
z=s-c.
Здесь x, y, z – длины равных отрезков касательных проведенных из точек А, В и С (А, В,С – вершины треугольника АВС) к окружности с центром в точке I и радиусом r, s – полупериметр треугольника АВС.
Дальнейшие рассуждения направлены на рассмотрение и доказательство следующей теоремы.
Рассмотрим треугольник IBC.
Чему равна площадь треугольника IBC с основанием а и высотой r?
Так как треугольник IBC имеет основание а и высоту r, то его площадь равна
А чему равны площади треугольников ICA и IAB?
Какое равенство будет получено, если сложить все три выражения для площадей треугольников IBC, ICA, IAB?
Мы получим: .
Тем самым вы доказали теорему.
Теорема 4.2: Для треугольника, изображенного на рисунке, выполняется соотношение:
SABC = sr.
Площадь треугольника АВС равна произведению полупериметра этого треугольника на радиус вписанной в него окружности.
Учащиеся под руководством учителя выполняют построения, фиксируют алгоритм построения и записывают следующие факты.
Построим произвольный остроугольный треугольник АВС. Продлим каждую из его сторон за вершины треугольника. Введем обозначения для продолжений сторон проведем дополнительные построения: а) построим биссектрисы внутренних треугольника и продлим их за стороны треугольника, б) построим биссектрисы внешних углов треугольника АВС, полученных продлением сторон треугольника за его вершины, в) точки пересечения биссектрис внутренних углов треугольника с соответствующими биссектрисами внешних углов обозначим как на рисунке, г) соединим полученные точки пересечения.
Мы получили изображение треугольника , стороны которого являются биссектрисами внешних углов треугольника АВС. Любая точка на биссектрисе угла В равноудалена от прямых АВ и ВС. Аналогично, любая точка на прямой
равноудалена от прямых ВС и СА. Следовательно точка Ia, в которой эти биссектрисы пересекаются, находится на одинаковом расстоянии ra от всех трех сторон. Так как Ia равноудалена от сторон АВ и АС, то она должна принадлежать множеству точек, равноудаленных от этих прямых, то есть она должна лежать на прямой А1, внутренней биссектрисе угла А.
Теорема 4.3: Внешние биссектрисы любых двух углов треугольника конкурентны с внутренней биссектрисой третьего угла.
Для закрепления понимания понятия «конкурентности» у учащихся рекомендуется спросить расшифровку этого понятия.
Окружность с центром в точке Ia радиуса ra, касающаяся всех трех сторон треугольника, является одной из трех вневписанных окружностей. Каждая из вневписанных окружностей касается одной из сторон треугольника внутри, а двух других сторон (продолженных) извне.
Познавательно о обучении:
Наука в период Киевской Руси
Именно во времена Киевской Украины-Руси начинает изучаться интегрированная филологическая дисциплина - словесность, которая сочетала в себе диалектику, поэтику и риторику. По мнению академика А. Р. Мазуркевича и современного исследователя В. В. Олифиренко. Это было начало методики украинской литера ...
Методические рекомендации по развитию одаренности в области
художественной деятельности
Под изобразительной деятельностью дошкольников понимается художественная деятельность, которая способствует всестороннему развитию личности ребёнка, активному познанию им окружающего мира, воспитанию способности правдиво и творчески отображать свои впечатления в графической и пластической форме. Ме ...
Пути формирования грамматически правильной речи дошкольного возраста
Овладение детьми грамматического строя речи – одна из самых важных проблем детской и педагогической психологии. Усвоение ребенком грамматического строя речи чаще всего связано с формированием у него коммуникативных функций речи. Ребенок использует язык как средство общения в меру того, как более-ме ...