Серединный треугольник и прямая Эйлера

В силу того, что теоретическая часть этого занятия носит исключительно ознакомительный характер, то на этапе решения задач предполагается решение задач подготавливающих к введению нового материала следующего занятия и повторение ранее изученного материала.

Решение задач:

1. Докажите, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

2. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты Докажите, что треугольники подобны треугольнику АВС.

3. Треугольник , вершинами которого являются основания высот треугольника АВС. Найдите углы ортоцентрического треугольника остроугольного треугольника АВС, если углы треугольника АВС равны А, В, С.

4. Докажите, что высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами его ортоцентрического треугольника.

5. Найдите углы ортоцентрического треугольника тупоугольного треугольника, если углы треугольника АВС равны А, В, С (угол С тупой).

6. Найдите углы всех треугольников, которые подобны своим ортоцентрическим треугольникам.

7. Дан остроугольный треугольник АВС. Докажите, что точки, симметричные ортоцентру треугольника АВС относительно его сторон, лежат на окружности, описанной около этого треугольника.

8. Продолжения высот остроугольного треугольника АВС пересекают описанную окружность в точках. Докажите, что а) треугольник подобен ортоцентрическому треугольнику треугольника АВС и коэффициент подобия равен 2, б) высоты треугольника АВС являются биссектрисами треугольника .

9. Пусть Н – ортоцентр треугольника АВС. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников АВН, ВСН и САН равны между собой и равны радиусу окружности, описанной около треугольника АВС.

Домашнее задание:

Решить задачи 6-9 и дорешать задачи из классной работы.

Подготовить доклад на тему «Ортотреугольник»

Ортотреугольник

Этап 1. Проверка домашнего задания и разбор не решенных задач.

Этап 2. Повторение ранее изученного материала.

Этап 3. Введение нового материала (объяснительно иллюстративный метод).

Прежде всего, учащиеся формулируют определение ортоцентра треугольника и ортоцентрического треугольника. Далее учащиеся записывают формулировку теоремы.

Теорема 6.1: Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.

Одно из простейших доказательств опирается на две следующие леммы:

Две следующие леммы, используемые для доказательства теоремы 6.1 уже хорошо известны учащимся из курса планиметрии.

Лемма 6.1.1: Если две хорды окружности стягивают различные острые углы с вершинами на этой окружности, то меньшему углу соответствует меньшая хорда.

Доказательство: Две равные хорды стягивают равные углы с вершиной в центре окружности и равные углы (как их половины) с вершинами в соответствующих точках на окружности. Из двух неравных хорд более короткая, находясь дальше от центра, стягивает меньший угол с вершиной в центре и, следовательно; меньший угол с вершиной на окружности.

Лемма 6.1.2: В треугольнике с двумя различными углами меньший угол обладает большей биссектрисой.

Доказательство:

Пусть АВС – треугольник, в котором угол В меньше угла С, как на рисунке; пусть отрезки ВМ и CN делят пополам углы В и С. Мы хотим доказать, что . Возьмём точку М` на отрезке ВМ так, чтобы . Так как этот угол равен углу M`BN, то четыре точки N, B, C, M` лежат на одной окружности. Поскольку то . По лемме 1.6.1 . Следовательно,

Познавательно о обучении:

Фотоприемники на основе внешнего фотоэффекта
К фотоприемникам на основе внешнего фотоэффекта относятся вакуумные приборы: фотоэлементы (ФЭ) и фотоэлектронные умножители (ФЭУ). Спектральный диапазон вакуумных ФП зависит от материала фотокатода. Наиболее широко распространены приборы с сурьмяно-цезиевыми мультищелочными и серебряно-кислородно-ц ...

Гиподинамия и ее негативное влияние на растущий организм учащихся
Одним из ведущих механизмов, формирующих общие характерные особенности организма при отклонениях в состоянии здоровья, является сниженная двигательная активность. Она может быть как в форме недостаточности общей суммы активности, так и в виде ограниченности интенсивных нагрузок развивающего характе ...

Аксиологические задачи педагогики
Как самостоятельная область философии аксиология выделяется в период ослабления власти церкви, после Возрождения, когда стало позволительно обращать внимание на расхождение человеческих устремлений и реальной жизни. Действительно, если человек высоко ценит то или иное, почему он не может постоянно ...