Серединный треугольник и прямая Эйлера

В силу того, что теоретическая часть этого занятия носит исключительно ознакомительный характер, то на этапе решения задач предполагается решение задач подготавливающих к введению нового материала следующего занятия и повторение ранее изученного материала.

Решение задач:

1. Докажите, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

2. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты Докажите, что треугольники подобны треугольнику АВС.

3. Треугольник , вершинами которого являются основания высот треугольника АВС. Найдите углы ортоцентрического треугольника остроугольного треугольника АВС, если углы треугольника АВС равны А, В, С.

4. Докажите, что высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами его ортоцентрического треугольника.

5. Найдите углы ортоцентрического треугольника тупоугольного треугольника, если углы треугольника АВС равны А, В, С (угол С тупой).

6. Найдите углы всех треугольников, которые подобны своим ортоцентрическим треугольникам.

7. Дан остроугольный треугольник АВС. Докажите, что точки, симметричные ортоцентру треугольника АВС относительно его сторон, лежат на окружности, описанной около этого треугольника.

8. Продолжения высот остроугольного треугольника АВС пересекают описанную окружность в точках. Докажите, что а) треугольник подобен ортоцентрическому треугольнику треугольника АВС и коэффициент подобия равен 2, б) высоты треугольника АВС являются биссектрисами треугольника .

9. Пусть Н – ортоцентр треугольника АВС. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников АВН, ВСН и САН равны между собой и равны радиусу окружности, описанной около треугольника АВС.

Домашнее задание:

Решить задачи 6-9 и дорешать задачи из классной работы.

Подготовить доклад на тему «Ортотреугольник»

Ортотреугольник

Этап 1. Проверка домашнего задания и разбор не решенных задач.

Этап 2. Повторение ранее изученного материала.

Этап 3. Введение нового материала (объяснительно иллюстративный метод).

Прежде всего, учащиеся формулируют определение ортоцентра треугольника и ортоцентрического треугольника. Далее учащиеся записывают формулировку теоремы.

Теорема 6.1: Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.

Одно из простейших доказательств опирается на две следующие леммы:

Две следующие леммы, используемые для доказательства теоремы 6.1 уже хорошо известны учащимся из курса планиметрии.

Лемма 6.1.1: Если две хорды окружности стягивают различные острые углы с вершинами на этой окружности, то меньшему углу соответствует меньшая хорда.

Доказательство: Две равные хорды стягивают равные углы с вершиной в центре окружности и равные углы (как их половины) с вершинами в соответствующих точках на окружности. Из двух неравных хорд более короткая, находясь дальше от центра, стягивает меньший угол с вершиной в центре и, следовательно; меньший угол с вершиной на окружности.

Лемма 6.1.2: В треугольнике с двумя различными углами меньший угол обладает большей биссектрисой.

Доказательство:

Пусть АВС – треугольник, в котором угол В меньше угла С, как на рисунке; пусть отрезки ВМ и CN делят пополам углы В и С. Мы хотим доказать, что . Возьмём точку М` на отрезке ВМ так, чтобы . Так как этот угол равен углу M`BN, то четыре точки N, B, C, M` лежат на одной окружности. Поскольку то . По лемме 1.6.1 . Следовательно,

Познавательно о обучении:

Роль и место раздела «Интерьер жилого дома» в обучении технологии
Знания основных видов и свойств тканей, получаемые школь­никами при изучении подраздела «Интерьер жилого дома», необходимы при конструкторской разработке моделей и изготовлении швейных изделий. На занятиях по конструирова­нию учащиеся учатся читать и строить чертеж, пользоваться чертежными инструме ...

Рождество в Англии
Идея сделать 25 декабря праздником Рождества появилась в 4 веке. Церковь стремилась избавиться пережитков язычества: дело в том, что примерно в это же время по традиции отмечался день рождения римского бога солнца. Поэтому отцы церкви решили учредить новый, христианский праздник в честь дня рождени ...

Портретный жанр в советской живописи
В русском искусстве рубежа двух веков, как и в более ранний период, портрет занимает важное место. Значительность и многообразие произведений, созданных в этом жанре, воочию продемонстрировала выставка "Портрет в русской живописи конца XIX - начала XX века", организованная в 1975 году в з ...