Серединный треугольник и прямая Эйлера

Планирование занятий

Обобщенная теорема синусов

Теорема синусов – это тригонометрическая теорема, которой мы будем часто пользоваться.

К сожалению, в учебниках она обычно появляется в урезанной форме, и в этом виде она не приносит всей той пользы, которую могла бы дать обобщенная теорема. Поэтому докажем эту теорему в желательной для нас форме.

Давайте вспомним формулировку теоремы синусов, о чем в ней говориться?

Учащиеся формулируют известную им теорему синусов (если требуется, то с помощью учителя).

Формулировка: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

.

Мы начинаем с треугольника АВС и описываем вокруг его окружность с центром в точке О и радиусом R, как показано на рисунке. Проведем диаметр CJ и хорду BJ.

Что можно сказать про угол CBJ?

Он прямой.

Почему?

Потому что он вписан в окружность и опирается на диаметр.

Да, в обоих случаях ÐCBJ – прямой, так как он вписан в полукруг.

Следовательно, как тогда можно выразить sinÐJ?

Рассмотрим рисунок.

Что вы можете сказать про углы J и A, какие они?

Они равны.

Почему?

Потому что они опираются на одну и ту же дугу окружности.

На рисунке ÐJ=ÐA, поскольку углы J и A опираются на одну и ту же дугу окружности.

А на втором рисунке, что вы можете сказать про углы J и A, какие они?

Скажите, вот вы сделали дополнительные построения, какую фигуру вы видите на рисунке.

Треугольник.

Скажите, какие дополнительные построения вы сделали?

Вокруг имеющегося треугольника мы описали окружность, построили диаметр CJ и хорду BJ.

Какая в итоге получилась фигура?

Четырехугольник, вписанный в окружность.

Так что можно сказать про углы J и A данного четырехугольника, какие они?

Противоположные.

А что вам известно про противоположные углы вписанного четырехугольника?

Они являются дополнительными.

Что это значит? Какой можно из этого сделать вывод? Как это можно записать?

ÐJ = 1800 – ÐА

Давайте посчитаем синус ÐJ.

sinÐJ = sin(1800 – ÐА)

А это почему?

Потому что противоположные углы вписанного четырехугольника являются дополнительными.

И что из этого следует? Какой можно сделать вывод? Чему же равен sinÐJ?

sinÐJ=sinÐA

Чем вы воспользовались, чтобы получить это равенство?

Мы воспользовались равенством sin q = sin (1800 – q).

Скажите, этот вывод относится к какому рассматриваемому случаю, 1 или 2?

К обоим.

Почему к обоим?

Потому что данное равенство sin q = sin (1800 – q) справедливо для этих двух случаев.

Теперь на основании сделанных умозаключений давайте сделаем вывод, что sinÐA = a/2R, так как sin q = sin (1800 – q), и получим что a/sinÐA=2R.

Аналогично, если проведем подобные рассуждения, получим такие же результаты для остальных углов.

Объединяя результаты, мы можем сформулировать обобщенную теорему синусов следующим образом:

Запишем обобщенную теорему синусов.

Теорема 1.1: Для треугольника АВС с радиусом описанного круга R выполнены соотношения:

a / sinÐA = b / sinÐB = c / sinÐC = 2R.

Решение задач:

Приведенные ниже задачи разделены на 2 блока. Задачи из блока 1 – это задачи на применение теоремы синусов, задачи из блока 2 – задачи на применение обобщенной теоремы синусов.

Задачи блока 1 можно предложить для решения учащимся до введения нового материала.

Блок 1.

1. С помощью теоремы синусов решите треугольник, если:

а) ÐА=600, ÐВ=400, с =14

б) ÐА=300, ÐС=750, b = 4,5

в) ÐА=800, a = 16, b = 10

г) ÐB=450, ÐC=700, a = 24,6

д) ÐА=600, a = 10, b = 7

2. В треугольнике АВС АС=12, ÐА=750, ÐС=600. Найдите АВ и SABC.

3. Найдите стороны треугольника АВС, если ÐА=450, ÐВ=300, а высота AD равна 3 метрам.

4. В параллелограмме . Найдите ÐBDC и ÐDBC.

Познавательно о обучении:

Условия организации детского праздника, способствующие адаптации ребенка к школе
М.П. Осипова подчеркивает, что «воспитательные задачи праздника реализуются только при соблюдении определенных требований к нему. Важным является соответствие формы и содержания праздника возрасту детей. Это требование предполагает постепенное усложнение деятельности. Праздник должен быть итогом оп ...

Способы предъявления софизмов
Способы предъявления софизмов могут быть различными. Рассмотрим некоторые из них. 1. Текст софизма записывается на доску до начала урока и учитель обращает внимание учеников, что они могут во время перемены подумать над заданием. В начале урока учитель даёт ещё 3-5 минут на обдумывание, после чего ...

Динамика изменений уровня развития начал экологической культуры в процессе познавательной деятельности у детей младшего дошкольного возраста
На основе проведенной системы работы по формированию начал экологической культуры у детей младшего дошкольного возраста по результатам диагностики, мы получили следующие показатели, наглядно представленные в таблицах 3 и 4. Таблица 3. Методика экологических знаний дошкольников О. Соломенниковой, ад ...