Серединный треугольник и прямая Эйлера

Треугольник, полученный соединением середин сторон данного треугольника, назовем серединным треугольником. На рисунке A`B`C` есть срединный треугольник треугольника АВС. Рассмотрим так же две медианы AA` и BB`, пересекающиеся в точке G, две высоты треугольника ABC, пересекающиеся в точке H, и две высоты треугольника A`B`C` пересекающиеся в точке O.

Во-первых, стороны треугольника A`B`C` параллельны сторонам треугольника АВС, поэтому эти треугольники подобны.

Далее, |C`B`|=1/2|BC|, поэтому отношение длин любых двух соответствующих отрезков (а не только соответствующих сторон) будет равно 1:2. В действительности, отрезки B`C`, C`A`, A`B` разбивают треугольник ABC на четыре конгруэнтных треугольника. Кстати, точка P –середина отрезка B`C` – также является и серединой отрезка AA`.

Далее мы видим, что AC`A`B` – параллелограмм, следовательно, прямая AA` делит пополам отрезок B`C`. Поэтому медианы треугольника A`B`C` лежат на медианах треугольника ABC, а это значит, что оба треугольника имеют один и тот же центроид G.

Высоты треугольника A`B`C`, изображенные на рисунке, являются срединными перпендикулярами сторон AB и BC треугольника ABC. Отсюда делаем вывод, что точка O – ортоцентр треугольника A`B`C` – является время и центром окружности, описанной вокруг треугольника ABC.

Так как точка H – ортоцентр треугольника ABC, а точка O – ортоцентр подобного ему треугольника A`B`C`, то |AH| = 2 |OA`|. По теореме 3.2. |AG| + 2 |GA`|. И так как оба отрезка, AD и OA`, перпендикулярны стороне BC, то они параллельны. Следовательно, ÐHAG = ÐOA`G, Ñ HAG ¥ Ñ OA`G и ÐAGH = Ð A`GO.

Этим показано, что точки O, G, H коллинеарны и |HG| = 2 |GO|, то есть справедлива.

Теорема 7.1: Ортоцентр, центроид и центр описанной окружности произвольного треугольника лежат на одной прямой. Центроид делит расстояние от ортоцентра до центра описанной окружности в отношении 2:1.

Окружность девяти точек

Рассмотрим рисунок. На нем точки K, L, M – середины отрезков AH, BH, CH, лежащих на высотах. Так как BC – общая сторона двух треугольников ABC и HBC, а точки C`, B` и L, M являются серединами других их сторон соответственно, то отрезки C`B` и LM параллельны прямой BC. Аналогично, так как AH – общая сторона двух треугольников BAH и CAH, то оба отрезка C`L и B`M параллельны прямой AH. Следовательно, B`C`LM – параллелограмм. Так как отрезки BC и AH – перпендикулярны, то этот параллелограмм – прямоугольник. Аналогично, A`B`KL – прямоугольник. Следовательно, A`K, B`L, C`M являются тремя диаметрами окружности, как показано на рисунке.

Так как ÐA`DK – прямой, то эта окружность проходит через точку D. Точно также она проходит через точки E и F.

Теорема 8.1: Основания трех высот произвольного треугольника, середины трех его сторон и середины трех отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности радиуса (Ѕ)R.

Теорема 8.2. Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера, точно в середине отрезка между ортоцентром и центром описанной окружности.

Педальный треугольник

Ортотреугольник и серединный треугольник являются примерами сопутствующих треугольников более общего типа. Пусть Р – любая точка внутри данного треугольника АВС, и пусть из точки Р на стороны АВ, АС, ВС опущены перпендикуляры РА1, РВ1, РС1. Треугольник, А1В1С1 вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, называется педальным треугольником треугольника АВС для педальной точки Р.

Теорема 9.1: Если расстояния от педальной точки до вершин треугольника АВС равны x, y, z, то длины сторон педального треугольника равны

В частном случае, когда , это утверждение общеизвестно.

Теорема 9.2: Третий педальный треугольник подобен исходному.

Доказательство следует из чертежа.

Познавательно о обучении:

Подготовка плана электронных учебных материалов
Учебная структура урока – основа для построения плана урока, на основе которого затем готовится рабочий (полноэкранный) сценарий урока. Взятые вместе планы уроков образуют план материалов в целом. Детализированный план урока, как правило, включает в себя следующую информацию: - Диаграмму (блок – сх ...

Программа по изобразительному искусству для 5 класса
Содержание предметного блока «Изобразительное искусство» соответствует общим целям и задачам преподавания интегрированного курса «Искусство»: воспитание художественной культуры как части культуры духовной, приобщение школьников к миру изобразительного искусства, общечеловеческим и национальным ценн ...

Подготовка к зачету
Учеников надо специально готовить к зачету. В процессе изучения темы должно отводиться специальное время на формирование и отработку умений решать задачи обязательного уровня. Поэтому при планировании уроков целесообразно предусмотреть такую работу, а в ходе ее проведения на уроке акцентировать на ...