Лемма 5.1.2: В треугольнике с двумя различными углами меньший угол обладает большей биссектрисой.
Доказательство: Пусть АВС – треугольник, в котором угол В меньше угла С, как на рисунке; пусть отрезки BM и CN делят пополам углы В и С. Мы хотим доказать, что |BM|>|CN|. Возьмем точку М` на отрезке ВМ так, чтобы ÐM`CN=1/2 ÐB. Так как это угол равен углу M`BN, то четыре точки N, B, C, M` на одной окружности.
Поскольку ÐB < 1/2(ÐB+ÐC) < 1/2(ÐA+ÐB+ÐC), то ÐCBN < M`CB <90°.
По лемме 5.1.1 |CN|<|M`B|. Следовательно, |BM|>|BM`|>|CN|.
Доказательство теоремы: Часто бывает, что теорема может быть выражена в форме «противоположной к обратной» – эквивалентной к обратной. Вместо доказательства теоремы 1.51 для нас будет достаточно доказать, что если в треугольнике АВС В ¹ С, то |BM| ¹ |CN|. Но это есть прямое следствие леммы 5.1.2.
Ортотреугольник
Теорема 6.1: Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
Одно из простейших доказательств опирается на две следующие леммы:
Лемма 6.1.1: Если две хорды окружности стягивают различные острые углы с вершинами на этой окружности, то меньшему углу соответствует меньшая хорда.
Доказательство: Две равные хорды стягивают равные углы с вершиной в центре окружности и равные углы (как их половины) с вершинами в соответствующих точках на окружности. Из двух неравных хорд более короткая, находясь дальше от центра, стягивает меньший угол с вершиной в центре и, следовательно; меньший угол с вершиной на окружности.
Лемма 6.1.2: В треугольнике с двумя различными углами меньший угол обладает большей биссектрисой.
Доказательство: Пусть АВС – треугольник, в котором угол В меньше угла С, как на рисунке; пусть отрезки ВМ и CN делят пополам углы В и С. Мы хотим доказать, что . Возьмём точку М` на отрезке ВМ так, чтобы
. Так как этот угол равен углу M`BN, то четыре точки N, B, C, M` лежат на одной окружности. Поскольку
то
. По лемме 6.1.1
. Следовательно,
Доказательство теоремы 6.1: Часто случается, что теорема может быть выражена в форме «противоположной к обратной» – эквивалентной первоначальной.
Вместо доказательства самой теоремы 6.1. нам достаточно доказать, что если в треугольнике АВС , то
. Но это есть прямое следствие леммы 6.1.2.
Теорема 6.2: Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
Мы уже отметили на рисунке, что . А так как отрезок HD перпендикулярен отрезку DB, то и отрезок FD должен быть перпендикулярен отрезку OB. Перпендикулярность отрезков DE и OC, а также EF и OA показывается аналогично.
Познавательно о обучении:
Общая характеристика речевого развития школьников с интеллектуальными
нарушениями
Проблема подготовки учащихся к жизни выступает как главная, ведущая, не только в массовой общеобразовательной школе, но и в специальной коррекционной. Одной из составных частей этой проблемы является формирование устной и письменной речи учащихся, как средства общения. Задача развития речи особенно ...
Виды и формы деятельности
коллективно-творческие дела; игровые программы, игры, конкурсы, концерты; индивидуальные и групповые беседы; психологические тренинги; командная (отрядная) работа; работа в классах – мастерских; нетрадиционные формы работы. Основные службы, обеспечивающие полноценную жизнь Лагеря общения Педколлект ...
Задачи физического воспитания и периодизация
занятий в специальных медицинских группах
Основными задачами физического воспитания учащихся, отнесенных по состоянию здоровья к специальной медицинской группе, являются: — укрепление здоровья, содействие правильному физическому развитию и закаливанию организма; — повышение функционального уровня органов и систем, ослабленных болезнью; — п ...