e. Всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых углов, эти прямые пересекаются и при том с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.
Пятый постулат известен как постулат о параллельных прямых.
Евклид приводит также девять аксиом, представляющих собой общие положения.
Теоремы геометрии, изложенные Евклидом, располагаются в такой последовательности, чтобы каждую теорему можно было доказать, используя предыдущие теоремы, постулаты, аксиомы.
Перечисление определений и аксиом, которые достаточны для проведения логического доказательства всех следующих за ними теорем геометрии, принято называть обоснованием геометрии.
Таким образом, «Начала» Евклида – первый, дошедший до нас труд по обоснованной геометрии, и в этом огромная историческая заслуга античного геометра перед наукой. «Начала» Евклида не потеряли своей ценности и поныне, несмотря на то, что со дня появления их прошло более 2000лет.
Благодаря, в первую очередь, трудам выдающегося русского математика Н.И. Лобачевского было установлено, что евклидова геометрия не является единственно возможной. 23 февраля 1826 года на заседании физико-математического отделения Казанского университета Н.И. Лобачевский сделал доклад «Сокращенное изложение начал геометрии с точным доказательством теоремы о параллельных». По образному выражению А.П. Котельникова, это было днем рождения неевклидовой геометрии.
Большая заслуга в расширении представлений о геометрических пространствах принадлежит математику Х1Х века Б Риману. Он открыл, параллельно с Лобачевским, способ построения бесконечно многих» геометрий», которые локально, «в малом» устроены почти так же, как и евклидова геометрия, но обладают кривизной. К. Гаусс, обогативший математику замечательными открытиями, ушел после доклада Римана: глубоко задумавшись, над ошеломляющими его новыми геометрическими идеями. Карл Гаусс сразу оценил новые идеи, разобрался в них, понял, но сказать в слух не решался.
Он добился избрания Н. И. Лобачевского в члены Геттенского ученого общества, но своего отношения к новой науке не высказал. Он был прозорлив в науке, но осторожен в жизни. Только после смерти из дневников и писем узнали, как высоко ценил Гаусс гениальное творение Лобачевского.
Познавательно о обучении:
Обобщенная теорема синусов
Теорема 1.1: Для треугольника АВС с радиусом описанного круга R выполнены соотношения: . Теорема Чевы Отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется чевианой. Теорема 2.1: Если три чевианы AX, BY, CZ (по одной из каждой вершины) треугольника АВС ...
Психолого-дидактическая концепция, основанная на принципе
субъективности
Автор этой концепции И.С. Якиманская, так же как и К. Роджерс, различает процессы обучения и учения, понимая последнее как индивидуально значимую деятельность отдельного субъекта, в которой реализуется его личный опыт. Однако если для К. Роджерса ученик выступает как субъект жизни, то для И.С. Яким ...
Основные понятия и принципы сопровождения
История зарождения в системе образования системы комплексной помощи ребёнку в развитии одновременно может характеризоваться как многолетняя, насчитывающая более двух веков и очень короткая - всего 10-15 лет. Более 200 лет в системе специального образования развивается модель взаимодействия специали ...