Применение софизмов на уроках математики

9 класс.

Софизм: В любом треугольнике катет больше гипотенузы.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что его катет АС больше гипотенузы ВС. Для этого запишем два очевидных равенства

,

,

из которых вытекает, что

.

Разделив последнее равенство на , получим равенство

, (1)

в котором в левой дроби числитель ВС+АС больше знаменателя –(ВС+АС), т.к. положительная величина всегда больше отрицательной. Поэтому, для того чтобы имело место равенство, необходимо, чтобы и в правой его части выполнялось неравенство , откуда , или , или, наконец,, т.е. в любом прямоугольном треугольнике катет больше гипотенузы.

В

С

А

Раскрытие софизма: Ошибка состоит в том, что сравнение двух дробей необходимо проводить согласно определению равенства дробей, а не сравнивать отдельно числители и отдельно знаменатели этих дробей.

Обратимся к неравенству (1). В дроби, стоящей в его левой части, числитель и знаменатель равны по абсолютной величине и противоположны по знаку, поэтому эта дробь равна – 1 . Это же относится и к дроби в правой части равенства (1): она равна – 1 . Поэтому равенство (1) приводит к равенству -1 = -1.

Софизм: Парадокс Зенона: Ахиллес никогда не догонит черепаху.

Древнегреческий философ Зенон доказывал, что Ахиллес, один из самых сильных и храбрых героев, осаждавших древнюю Трою, никогда не догонит черепаху, которая, как вы, конечно, знаете, отличается крайне медленной скоростью передвижения.

Вот примерная схема его рассуждений. Предположим, что Ахиллес и черепаха начинают своё движение одновременно и Ахиллес стремится догнать черепаху. Примем для определённости, что Ахиллес движется в 10 раз быстрее черепахи и, что их отделяют друг от друга 100 шагов.

Когда Ахиллес пробежит расстояние 100 шагов, отделяющее его от места, откуда начала своё движение черепаха, то в этом месте Ахиллес её уже не застанет, т.к. она пройдёт вперёд расстояние в 10 шагов. Когда Ахиллес минует и эти 10 шагов, то и там черепахи уже не будет, поскольку она успеет перейти на 1 шаг в новое место. Достигнув и этого места, Ахиллес опять не найдёт там черепахи, потому что она успеет пройти расстояние, равное 1/10 шага, и снова окажется несколько впереди его. Это рассуждение можно продолжать до бесконечности, и придётся признать, что быстроногиё Ахиллес никогда не догонит медленно ползущую черепаху.

Раскрытие софизма: Понятно, что Ахиллес догонит черепаху. Смысл софизма Зенона состоит не только в том, что Зенон вскрывал противоречивость движения. Парадоксы и софизмы Зенона, из которых до нас дошло только 9, имеют значительно более глубокий смысл и направлены на вскрытие понятия бесконечности, на разрешение «проклятия бесконечности» и до сих пор привлекают внимание математиков и философов, которые продолжают давать им самые различные объяснения. Рассматриваемый софизм на сегодняшний день не далёк от своего окончательного разрешения.

Познавательно о обучении:

Концепция экологического воспитания дошкольников
Концепция - это система взглядов на какое-либо явление, система ведущих идей по определенному вопросу, глобальное его рассмотрение. Концепции - новые документы, появившиеся лишь в последнее время, с них начинается создание любого нового направления. Они определяют его цели, задачи, содержание, форм ...

Виды игры в экологическом воспитании дошкольников
Согласно классификации С.Л. Новоселовой, все игры, в зависимости от того, по чьей инициативе они возникают (ребенка или взрослого), объединяются в три группы: 1) игры, возникающие по инициативе ребенка (или группы детей), - самостоятельные игры (театрализованные, игры-экспериментирования, режиссерс ...

План-конспект урока с использованием психодиагностики школьников
Для пользователя Windows наибольший интерес представляют “мощные” приложения, которые в последнее время стали чрезвычайно популярны. (Так же как и сама операционная среда Windows, многие ее приложения разрабатываются фирмой Microsoft, поэтому в полных названиях всех программных продуктов присутству ...